Der 33-jährige Nagelsmann bekommt beim deutschen Rekordmeister ab dem Sommer einen Fünfjahresvertrag. Das bestätigten beide Klubs am Dienstag.
Nagelsmann wird Nachfolger von Hansi Flick, dessen Vertrag zum 30. Juni aufgelöst wird.
Medienberichten zufolge zahlt Bayern für den Leipzig-Trainer eine Ablösesumme von mehr als 20 Millionen Euro. Damit würde Nagelsmann zum teuersten Trainer der Welt.
dpa/jp